Question

已知梯形中，∥，，

，、分别是、上的点，∥，，是的中点.沿将梯形翻折，使平面⊥平面 (如图) .

           

(Ⅰ) 当时，求证：⊥ ；

(Ⅱ) 若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为 ，求的最大值；

(Ⅲ)当取得最大值时，求二面角的余弦值.

Answer 1

解:（Ⅰ）（法一）作于，连， 

由平面平面知  平面

而平面，故又四边形为正方形           

 ∴　 

又，故平面而平面   

∴　 .      （或者直接利用三垂线定理得出结果）

（法二）∵  平面平面      

 ∴　⊥面平面

∴ ⊥, ⊥,又⊥

故可如图建立空间坐标系．

则，，　　

∴ 

∴   .　 

（Ⅱ） ∵　，面面  

∴ 面

又由（Ⅰ）平面   ∴          

所以 ＝

 

     

即时有最大值为．

（Ⅲ）（法一）作于，作，连

由三垂线定理知

∴  是二面角的平面角的补角   

由∽，知

而，

∴　　又

∴　在中，

因为∠是锐角   ∴∠＝　 

而∠是二面角的平面角的补角

故二面角的余弦值为－.

（法二）设平面的法向量为

∵  ,，， 

∴   

则     即

取   则    ∴    

面的一个法向量为

则<> 

由于所求二面角的平面角为钝角，

所以，此二面角的余弦值为－.