Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，满足与a＝(3，－1)共线．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设M为椭圆上任意一点，且，证明λ²＋μ²为定值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，F(c，0)， 　　则直线AB的方程为y＝x－c，代入＝1，化简得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0． 　　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝． 　　由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，与a共线，得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0 　　又y1＝x1－c，y2＝x2－c，∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，∴x1＋x2＝． 　　即所以a2＝3b2．∴c＝，故离心率e＝ 　　(2)证明：由(1)知a2＝3b2，所以椭圆＝1可化为x2＋3y2＝3b2． 　　设＝(x，y)，由已知得(x，y)＝(x1，y1)＋μ(x2，y2)， 　　∴ 　　∴M(x，y)在椭圆上，∴(x1＋μx2)2＋3(y1＋μy2)2＝3b2． 　　即2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2μ(x1x2＋3y1y2)＝3b2． 　　由(1)知x1＋x2＝c，a2＝c2，b2＝c2 　　∴x1x2＝ 　　∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0． 　　又x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，代入①得2＋μ2＝1．故2＋μ2为定值，定值为1．