Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（a≥b），$sin（{\frac{π}{3}-A}）=sinB$，$asinC=\sqrt{3}sinA$，则a+b的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $2\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 根据三角形内角的取值范围和已知条件$sin（{\frac{π}{3}-A}）=sinB$推知$C=\frac{2π}{3}$．再根据$asinC=\sqrt{3}sinA$求得$c=\sqrt{3}$，所以利用不等式的性质来求a+b的最大值．

解答 解：∵$sin（{\frac{π}{3}-A}）=sinB，a≥b$，
∴$\frac{π}{3}-A=B$，即$C=\frac{2π}{3}$．
由$asinC=\sqrt{3}sinA$得$c=\sqrt{3}$，
则a²+b²+ab=3，即${（{a+b}）^2}=3+ab≤3+{（{\frac{a+b}{2}}）^2}$，
得（a+b）²≤4⇒a+b≤2．
故a+b的最大值为2．
故选：A．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．