Question

在a＞0，b＞0的条件下，三个结论：
①

2ab

a+b

≤

a+b

2

，
②

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
③

b2

a

+

a2

b

≥a+b，
其中正确的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：用作差比较法证明①②③都正确，从而得到结论．

解答：解：在a＞0，b＞0的条件下，
由

a+b

2

-

2ab

a+b

=

(a+b)2- 4ab

2(a+b)

=

a2+b2- 2ab

2(a+b)

=

(a-b)2

2(a+b)

≥0，可得①正确．
由

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=

2a2+2b2-a2-b2-2ab

4

=

(a-b)2

4

≥0，可得

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2，
故有

a2+b2 2

≥

a+b

2

，故②正确．
 由

b2

a

+

a2

b

-(a+b)=

b2-a2

a

+

a2-b2

b

=（b-a）（

a+b

a

-

a+b

b

）=（b-a）（

b

a

-

a

b

），
当b＞a＞0时，（b-a）＞0，

b

a

＞

a

b

，（

b

a

-

a

b

）＞0，（b-a）（

b

a

-

a

b

）＞0．
当a＞b＞0时，（b-a）＜0，

b

a

＜

a

b

，（

b

a

-

a

b

）＜0，（b-a）（

b

a

-

a

b

）＞0．
当a=b 时，显然（b-a）（

b

a

-

a

b

）=0．
综上，（b-a）（

b

a

-

a

b

）≥0，故有

b2

a

+

a2

b

≥a+b，故③正确．
故选D．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，用比较法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，式子的变形是解题的关键，属于基础题．