Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|-1
（1）求能使f（x）成为偶函数的a的值，并写出此时函数的单调递增区间；
（2）求a=2时函数f（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）当a=0时，f（-x）=x²+|x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（-a）≠f（a），且f（-a）≠-f（a），此时函数f（x）无奇偶性，
∴能使f（x）成为偶函数的a的值为0，此时，f（x）=x²+|x|-1=
函数的图象如图所示，∴函数的单调增区间是[0，+∞）；
（2）a=2时，f（x）=
当x＜2时，f（x）
；当x≥2时，f（x）≥3，
∴函数的最小值为．
分析：（1）对a讨论，利用函数奇偶性的定义，可求a的值，结合函数的图象，可得函数的单调递增区间；
（2）a=2时，确定函数的解析式，即可求函数f（x）的最小值．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数的最值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．