Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD．

(1)求证：AQ∥平面CEP；

(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP；

(3)若EP＝AP＝1，求三棱锥E－AQC的体积．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)在矩形ABCD中， 　　∵AP＝PB，DQ＝QC， 　　∴APCQ． 　　∴AQCP为平行四边形．　　2分 　　∴CP∥AQ． 　　∵CP平面CEP， 　　AQ平面CEP， 　　∴AQ∥平面CEP．　　4分 　　(2)∵EP⊥平面ABCD， 　　AQ平面ABCD， 　　∴AQ⊥EP．　　6分 　　∵AB＝2BC，P为AB中点，∴AP＝AD．连PQ，ADQP为正方形． 　　∴AQ⊥DP．　　8分 　　又EP∩DP＝P，∴AQ⊥平面DEP． 　　∵AQ平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．　　10分 　　(3)解：∵⊥平面 　　∴EP为三棱锥的高 　　所以　 　　　　14分