Question

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为BD₁的中点，G在CD上，且CG=

CD

4

，H为C₁G的中点，求
（1）FH的长；
（2）直线FH与直线BD₁的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，分别表示出F，H的坐标，从而可求向量FH的模，进而可得FH的长．
（2）由（1）知

FH

=(-2，

3

2

，0)，

BD1

=(-4，-4，4)，从而可计算相应的模与数量积，利用向量的数量积的坐标公式，可求所成角的余弦值．

解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则F（2，2，2），C（0，4，0），B₁（4，4，4），C₁（0，4，4），G（0，3，0）
（1）∵H为C₁G的中点
∴H(0，

7

2

，2)
∵F（2，2，2）
∴|

FH

|=

(0-2)2+( 7 2 -2)2+(2-2)2

=

5

2

∴FH=

5

2

；
（2）由（1）知

FH

=(-2，

3

2

，0)，

BD1

=(-4，-4，4)，
∴|

FH

|=

(-2)2+( 3 2 )2+02

=

5

2

，|

BD1

|=

(-4)2+(-4)2+42

=4

3

，

FH

•

BD1

=(-2)•(-4)+

3

2

•(-4)+0•4=2，
∴cos＜

FH

，

BD1

＞  =

2

5 2 ×4 3

=

3

15

故直线FH与直线BD₁的夹角θ的余弦值是

3

15

．

点评：本题以正方体为载体，主要考查线线角的求解．解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解立体几何问题．