Question

设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（I）如果存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..

Answer 1

解：（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M
∵g（x）=x³-x²-3，∴
∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增
∴g（x）_min=g（）=-，g（x）_max=g（2）=1
∴g（x）_max-g（x）_min=
∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max．
由（I）知，在[，2]上，g（x）_max=g（2）=1
∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立
记h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0
∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1
∴a≥1
分析：（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M；
（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围．
点评：本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究．