Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）由于，…（2分）
①当a＞0时，易知，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；…（4分）
②当a＜0时，同理可知f（x）的单调递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）；…（6分）
（Ⅱ）要证成立；
只须证（n≥2，n∈N^*，）
即证lnn＜n-1（n≥2，n∈N^*，）
下面证明此式．
证明：令a=1此时f（x）=lnx-x-3，所以f（1）=-4，
由（I）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈[1，+∞）时f（x）＜f（1），即lnx-x+1＜0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，则有0＜lnn＜n-1，
故结论成立．
分析：（I）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（II）判断lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，进而可得证（n≥2，n∈N^*），即可证得结论．
点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于难题．