Question

已知四棱锥C-ABDE中，平面ABDE⊥平面ABC，底面ABDE是正方形，AB=1，CD=，AB⊥BC，
（1）求证：平面ACE⊥平面ABC，
（2）求CD与平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证平面ACE⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面ACE内一直线与平面ABC垂直，而根据面面垂直的性质定理可知AC⊥平面PDB；
（2）设BE∩AD=O，连接OC，根据线面所成角的定义可知CD与平面BCE所成的角就是∠DCO，在直角三角形CDO中，求出此角的正弦值即可．
解答：解：（1）证明：在正方形ABDE中，EA⊥AB，
又AB=平面ABDE∩平面ABC，平面ABDE⊥平面ABC
所以，EA⊥平面ABC，（4分）
又EA在平面ACE内，所以，平面ACE⊥平面ABC．（7分）
（2）同理，由AB⊥BC可知：BC⊥平面ABDE，进而知，BC⊥AD
在正方形ABDE中，AD⊥BE，又BC∩BE=B，知AD⊥平面BCE．（10分）
设BE∩AD=O，连接OC，则CD与平面BCE所成的角就是∠DCO，且DO⊥CO．（12分）
在正方形ABDE中，由AB=1知，DO=，
在直角三角形CDO中，依前知，sin∠DCO=，
即CD与平面BCE所成角的正弦值是（14分）
点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面所成角的计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．