Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁.

(Ⅰ)试求的值；

(Ⅱ)求二面角F-AC₁-C的大小；

(Ⅲ)求点C₁到平面AFC的距离.

Answer 1

答案：本小题考查空间线线、线面关系及二面角的求法,

解：[解法一](Ⅰ)连AF、FC₁,∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱且各棱长都等于2,又F为BB₁中点,

∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F,∴AF=FC₁.又在△AFC₁中,FD⊥AC₁,所以D为AC₁的中点,

即=1.

(Ⅱ)取AC的中点E,连接BE及DE,易得DE与FB平行且相等,

∴四边形DEBF是平行四边形,∴FD与BE平行.

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱,∴ABC是正三角形,BE⊥AC,

∴FD⊥AC,又∵FD⊥AC,∴FD⊥平面ACC₁,所以二面角F-AC₁-C的大小为90°. 

(Ⅲ)运用等积法求解,AC=2,AF=CF=,可求S_△ACF=2,

得h=.

 [解法二]取BC的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得A(0,0,),B(1,0,0),C(-1,0,0),B₁(1,2,0),C₁(-1,2,0),F(1,1,0).

(Ⅰ)设=λ,则D(),

.

∵  ∴=0,

即=0,解得λ=1,即=1.

(Ⅱ)设平面FAC₁的一个法向量为n₁=(x₁,y_l,1).

∵=(1,1,),由n₁⊥得x₁+y₁=0,又由n₁⊥,得-x₁+2y₁=0,

∴  ∴

仿上可得平面ACC₁的一个法向量为n₂=(,0,1). 

∵n₁·n₂=+1×1=0,∴n₁⊥n₂.

故二面角F-AC₁-C的大小为90°. 

(Ⅲ)设平面AFC的一个法向量为n=(x,y,1),

由n⊥得x+y=0；又=(-1,0,),

由n⊥得-x=0.

解得∴n=().

∴C₁到平面AFC的距离为d=.