Question

已知数列{a_n}中，a1=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）设

2

bn

=

1

an

+1，数列{b_nb_n+2}的前n项和T_n，求证：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

2an+1

变形可得：

1

an+1

-

1

an

=2，易得数列{

1

an

}为等差数列；
（2）结合（1）中结论，可求出数列{b_nb_n+2}的通项公式，进而利用裂项相消法求出数列{b_nb_n+2}的前n项和T_n后，易得答案．

解答：证明：（1）由an+1=

an

2an+1

得：

1

an+1

-

1

an

=2且

1

a1

=1，…（2分）
所以数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列，…（3分）
（2）由（1）得：

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，得：an=

1

2n-1

；------------（5分）
由

2

bn

=

1

an

+1得：

2

bn

=2n-1+1=2n，
∴bn=

1

n

，------------（7分）
从而：bnbn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)------------（9分）
则 T_n=b₁b₃+b₂b₄+…+b_nb_n+2
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)------------（12分）
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

------------（14分）

点评：本题考查的知识点是等差数列的确定，数列求和，数列与不等式的综合应用，其中（1）的关键是由已知得到

1

an+1

-

1

an

=2，（2）的关键是由裂项相消法求出数列{b_nb_n+2}的前n项和T_n