Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=0，对任意k∈N*，有a_2k-1，a_2k，a_2k+1成公差为k的等差数列，若b_n=$\frac{（2n+1）^{2}}{{a}_{2n+1}}$，则数列{b_n}的前10项和S₁₀=（　　）

• A． $\frac{450}{11}$
• B． $\frac{439}{11}$
• C． $\frac{452}{11}$
• D． $\frac{441}{11}$

Answer 1

分析 依题意，讨论k=1，2，3，4，可求得a₂，a₃，…，a₉，…，从而利用累加法可求得a_2n+1=n²+n，代入b_n=$\frac{（2n+1）^{2}}{{a}_{2n+1}}$，用分组求和与裂项法求和即可求得答案．

解答 解：当k=1时，a₁，a₂，a₃成公差为1的等差数列，
由于a₁=0，故a₂=1，a₃=2；
同理可得当k=2，3，4时，可以求得a₄=4，a₅=6，a₆=9，a₇=12，a₈=16，a₉=20；
∴a₃-a₁=2，a₅-a₃=4，a₇-a₅=6，…
∴a_2n+1-a_2n-1=2n，
∴将上述n个等式相加得：a_2n+1-a₁=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n，
∴a_2n+1=n²+n，
∴b_n=$\frac{（2n+1）^{2}}{{a}_{2n+1}}$=$\frac{（2n+1）^{2}}{{n}^{2}+n}$=$\frac{4（{n}^{2}+n）+1}{{n}^{2}+n}$=4+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=4+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=4n+[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=4n+（1-$\frac{1}{n+1}$）
=4n+$\frac{n}{n+1}$．
则S₁₀=40+$\frac{10}{11}$=$\frac{450}{11}$．
故选：A．

点评 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a_2n+1=n²+n是关键，也是难点，考查裂项法求和与分组求和，属于难题．