证明(1)已知
＝1，求证3sin2α＝－4cos2α
(2)已知数列
，
，
，…，
，…，计算S1，S2，S3，由此推算Sn的公式，并用数学归纳法给出证明．
科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏五校高三下学期期初教学质量调研数学卷（解析版） 题型：解答题
设非常数数列{an}满足an+2＝
，n∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.
（1）证明：数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；
（2）已知α＝1，β＝
， a1＝1，a2＝
，求证：数列{| an＋1－an－1|}
(n∈N*，n≥2)与数列{n＋
} (n∈N*)中没有相同数值的项.
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科目：高中数学 来源：2014届广东省高一期中考试文科数学试卷A卷（解析版） 题型：解答题
已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝
，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若数列{an}满足a1＝
，an+1＝f(an)，bn＝
－1，n∈N*，证明数列{bn}是等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，证明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．
【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.
由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，
也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，
∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝
.…………………………………………4分
(2)an＋1＝f(an)＝
(n∈N*)，bn＝－1， ∴
＝
＝
＝
，
∴{bn}为等比数列，q＝.又∵a1＝，∴b1＝
－1＝，
bn＝b1qn－1＝
n－1＝n(n∈N*)．……………………………9分
(3)证明：∵anbn＝an
＝1－an＝1－
＝
，
∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝
＋
＋…＋<
＋
＋…＋
＝
＝1－<1(n∈N*)．
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科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省、金陵中学、南京外国语学校高三三校联考数学卷 题型：解答题
A．选修4－1：几何证明选讲
|
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD．求证：（1）l是⊙O的切线；（2）PB平分∠ABD．
B．选修4－2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
已知点A在变换：T：→＝作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B．若点B坐标为(－3，4)，求点A的坐标．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
求曲线C1：被直线l：y＝x－所截得的线段长．
D．选修4－5：不等式选讲
（本小题满分10分）
已知a、b、c是正实数，求证：≥．
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科目：高中数学 来源：2009-2010学年度新课标高一上学期数学单元测试3-幂函数、函数的应用 题型：解答题
（2009·上海卷·文21·理20）有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度．其中
表示某学科知识的学习次数（
），
表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x 
7时，掌握程度的增长量f（x+1）－ f(x)总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121）,(121,127),
(127,133)．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
（已知
＝1．0513）
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，所以
，从而
2分
