Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足b₁=0，b_n-b_n-1=log₂a_n（n≥2），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，a₂=4，a₃=16．…（2分）
由题意，a_n+1=3S_n+1，则当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．
两式相减，得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（3分）
又因为a₁=1，a₂=4，

a 2

a1

=4，
所以数列{a_n}是以首项为1，公比为4的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式是an=4n-1（n∈N^*）．…（5分）
（Ⅱ）因为Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，
所以4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，…（6分）
两式相减得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n，…（8分）
整理得，Tn=

3n-1

9

•4n+

1

9

（n∈N^*）．…（9分）
（Ⅲ） 当n≥2时，依题意得b₂-b₁=log₂a₂，b₃-b₂=log₂a₃，…，b_n-b_n-1=log₂a_n．
相加得，b_n-b₁=log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n．…（12分）
依题意log2an=log24n-1=2(n-1)．
因为b₁=0，所以b_n=2[1+2+…+（n-1）]=n（n-1）（n≥2）．
显然当b₁=0时，符合．
所以b_n=n（n-1）（n∈N^*）．…（14分）