Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已条件，得F（0，1），λ＞0，
设，由，即得，
∴，
将①式两边平方并把代入得， ③
解②、③式得，且有，
抛物线方程为，求导得，
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，
即，
解出两条切线的交点M的坐标为，
所以
所以为定值，其值为0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而，

 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，
所以 |AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=，
于是，
由，
且当λ=1时，S取得最小值4。