Question

给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a₁，a₂，a₃，…满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若a₁=-c-2，求a₂及a₃；
（2）求证：对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）a₂=f（a₁）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，
a₃=f（a₂）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=

x+c+8，x≥-c 3x+3c+8，-c-4≤x＜-c -x-c-8，x＜-c-4

当a_n≥-c时，a_n+1-a_n=c+8＞c；
当-c-4≤a_n＜-c时，a_n+1-a_n=2a_n+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；
当a_n＜-c-4时，a_n+1-a_n=-2a_n-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．
∴对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
（3）由（2）及c＞0，得a_n+1≥a_n，即{a_n}为无穷递增数列．
又{a_n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a_n≥-c，从而a_n+1=f（a_n）=a_n+c+8，由于{a_n}为等差数列，
因此公差d=c+8．
①当a₁＜-c-4时，则a₂=f（a₁）=-a₁-c-8，
又a₂=a₁+d=a₁+c+8，故-a₁-c-8=a₁+c+8，即a₁=-c-8，从而a₂=0，
当n≥2时，由于{a_n}为递增数列，故a_n≥a₂=0＞-c，
∴a_n+1=f（a_n）=a_n+c+8，而a₂=a₁+c+8，故当a₁=-c-8时，{a_n}为无穷等差数列，符合要求；
②若-c-4≤a₁＜-c，则a₂=f（a₁）=3a₁+3c+8，又a₂=a₁+d=a₁+c+8，∴3a₁+3c+8=a₁+c+8，得a₁=-c，应舍去；
③若a₁≥-c，则由a_n≥a₁得到a_n+1=f（a_n）=a_n+c+8，从而{a_n}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a₁的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞）．