Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a≤2，且f（x）的极大值为3，求出a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=（x²+3x+2）e^x，令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-2，列表讨论能求出f（x）的增区间和减区间．
（Ⅱ）由f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），知f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=-2，由a≤2，且f（x）的极大值为3，能求出实数a的值．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x+1）e^x
=（x²+3x+2）e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-2，
列表讨论

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴f（x）的增区间是（-∞，-2），（-1，+∞）；减区间是（-2，-1）．
（Ⅱ）∵f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），
∴f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x
=[x²+（2+a）x+2a]e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=-2，
∵a≤2，∴-a≥-2，列表讨论

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴x=-2时，f（x）取极大值f（-2）=（4-2a+a）e^-2=（4-a）e^-2，
∵a≤2，且f（x）的极大值为3，
∴（4-a）e^-2=3，
∴a=4-3e²．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查利用函数的极大值求实数a．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想及导数性质的合理运用．