Question

四棱锥P-ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点，求证：
（1）PD∥面ACM；
（2）PO⊥面ABCD；
（3）面ACM⊥面BPD．

Answer 1

证明：（1）连接OM，正方形ABCD中，OB=OD，
M为PB的中点
∴PD∥OM
∵OM?面ACM，PD不在面ACM内
∴PD∥面ACM
（2）∵PA=PC，OA=OC，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD
AC∩BD=O
∴PO⊥面ABCD
（3）∵PO⊥面ABCD
∴PO⊥AC
正方形ABCD中，DB⊥AC
DB∩PO=O
∴AC⊥面BDP，
∵AC?面ACM
∴面ACM⊥面BDP
分析：（1）欲证PD∥面ACM，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PD与面ACM内一直线平行即可，连接OM，而OB=OD，则PD∥OM，OM?面ACM，PD不在面ACM内，满足定理所需条件；
（2）欲证PO⊥面ABCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PO与面ABCD内两相交直线垂直，而PA=PC，OA=OC，则PO⊥AC，同理PO⊥BD，AC∩BD=O，满足定理所需条件；
（3）欲证面ACM⊥面BDP，根据面面垂直的判定定理可知在平面ACM内一直线与平面BDP垂直，根据PO⊥面ABCD，则PO⊥AC，DB⊥AC，DB∩PO=O，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥面BDP，AC?面ACM，满足定理所需条件．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．