Question

19．等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0，且a₃•a₄=a₁₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知a₃•a₄=a₁₂，求得d=1，即可写出通项公式；
（2）b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，采用乘以公比错位相减法，求得T_n．

解答 解：a₃•a₄=a₁₂．
（a₁+2d）（a₁+3d）=（a₁+11d），
解得：d=1，
a_n=n，
数列{a_n}的通项公式，a_n=n；
b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
T_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查求数列的通项公式和乘以公比错位相减法，是高考的重点，要求学生熟练运用错位相减法，属于中档题．