Question

有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

Answer 1

答案：
解析：

解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km， 　　∵BD＝40，AC＝50－x， 　　∴BC＝． 　　又设总的水管费用为y元，依题意有 　　y＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0＜x＜50)． 　　＝－3a＋．令＝0，解得x＝30． 　　在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省． 　　解法二：设∠BCD＝， 　　则BC＝，CD＝40·cot，(0＜＜)． 　　∴AC＝50－40·cot． 　　设总的水管费用为f()，依题意，有 　　f()＝3a(50－40·cot)＋5a· 　　＝150a＋40a·． 　　∴()＝40a· 　　＝40a·． 　　令()＝0，得cos＝． 　　根据问题的实际意义，当cos＝时，函数取得最小值，此时sin＝，∴cot＝， 　　∴AC＝50－40cot＝20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省． 　　分析：根据题设条件作出图形，如图分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．