Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的动直线ι交抛物线与A，B两点．
（1）若△AOB的面积为

5

2

，求直线ι的斜率；
（2）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在求出定点T的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

（1）由题意知：抛物线方程为：y²=4x且P（-1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知直线l斜率存在，设l：y=k（x+1）（k≠0），代入y²=4x得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由△＞0得-1＜k＜1，

x1+x2=- 2k2-4 k2 x1x2=1

，
|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，h=

|k|

1+k2

，
由

1

2

|AB|h=

5

2

，得k=±

4 41

41

，满足△＞0，
（2）假设存在T（a，0）满足题意，
因为TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，
所以直线TA，TB的斜率之和为0，则
kAT+kBT=

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=

k(x1+1)(x2-a)+k(x2+1)(x1-a)

(x1-a)(x2-a)

=

k[2x1x2-(a-1)(x1+x2)-2a]

(x1-a)(x2-a)

=0，
∴k[2x₁x₂-（a-1）（x₁+x₂）-2a]=0，即k[2-(a-1)

4-2k2

k2

-2a]=0，
整理得：a-1=0，解得a=1，
∴存在T（1，0）．