Question

已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆C的离心率为e=

2

2

，点M是椭圆上的一点，且点M到椭圆C两焦点的距离之和为4
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（1，-1），倾斜角为45°的直线l与上述椭圆C交于两点A、B，求|PA|•|PB|

Answer 1

（1）由题意可设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
则有

2a=4 c a = 2 2

，解得

a=2 c= 2

，于是b2=2
故所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1
（2）直线l的参数方程为：

x=1+tcos45° y=-1+tsin45°

(t为参数)，
即为

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

(t为参数)，将其代入椭圆方程：

x2

4

+

y2

2

=1整理化简得：3t2-2

2

t-2=0
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则有：t1•t2=-

2

3

于是|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=

2

3