Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点与抛物线y²=-8x的焦点重合，斜率为1的直线l与双曲线交于A、B两点，若A，B中点坐标为（-3，-1），则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 斜率为1的直线l设为y=x+t，代入中点（-3，-1），可得t=2，代入双曲线方程，由韦达定理和中点坐标公式可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到．

解答 解：斜率为1的直线l设为y=x+t，
由中点（-3，-1）可得t=2，
即y=x+2，代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
则x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$=-6，
即有a²=3b²，
则c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查双曲线方程和直线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，属于中档题．