Question

某生产企业于年初用98万元购进一套先进的生产线，并投入营运，第一年固定投入12万元，从第二年开始，包括维修保养在内，每年投入均比上一年增加4万元，该生产线投入运营后每年的收入为50万元，设投入生产x（x∈N^*）年后，该生产线的盈利总额为y万元．
（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）该生产线几年后取得利润额的最大值？并求出该最大值？
（Ⅲ）若该企业计划在年平均利润取得最大值时淘汰该生产线，应在几年后淘汰？

Answer 1

解：（I）由题意，每年的投入是以12为首项，4为公差的等差数列，
∴
=-2x²+40x-98（x∈N^*），
（II）y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102，
当x=10时，y_max=102．
∴该生产线10年后取得利润的最大值102万．
（Ⅲ），
当且仅当时，即x=7时等号成立，
所以按照计划，该生产线应该在7年后淘汰．
分析：（I）利用等差数列的前n项和公式以及纯利润=收入-投入成本；
（II）利用二次函数的单调性即可得出；
（III）利用基本不等式即可得出．
点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性、基本不等式、纯利润=收入-投入成本等是解题的关键．