Question

设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)＝f(1)＝0．

(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(2－x)＝f(2＋x)得函数y＝f(x)的对称轴为x＝2，∴f(－1)＝f(5)．而f(5)≠0f(1)≠f(－1)，即f(x)不是偶函数． 　　又∵f(x)在[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0， 　　∴f(0)≠0． 　　从而知函数y＝f(x)不是奇函数，故函数y＝f(x)是非奇非偶函数． 　　 　　故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有2个根，从而可知函数y＝f(x)在[0，2 000]上有400个根，在[2 000，2 005]上有2个根，在[－2 000，0]上有400个根，在[－2 005，－2 000]上没有根．∴函数y＝f(x)在[－2005，2 005]上有802个根．

提示：

本题考查函数的奇偶性、周期性等函数性质，利用周期性求方程根的个数，体现了函数与方程思想．