Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点.

（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；

（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.

Answer 1

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，

所以,      所以，为平行四边形,              ……………….2分

得，                                                                     ……………….3分

又因为平面PFB，且平面PFB,                         ……………….4分

         所以DE∥平面PFB.                                                           ……………….5分

（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分

别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,

      可得如下点的坐标：

         P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)          

         则有：

                ……………….6分

         因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的

一个法向量为，        ……………….7分

设平面PFB的一个法向量为，则可得

           

         即 

         令x=1,得，所以.                ……………….9分

        由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得:

        ,                           ……………….10分

        解得a =2.                                                                     ……………….11分

        因为PD是四棱锥P-ABCD的高，

所以，其体积为