Question

8．（1）将二次函数h（x）=x²的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到函数f（x）的图象，写出函数f（x）的解析式，并求出x∈[0，4]时函数f（x）的值域．
（2）求f（x）=x²-2ax-1在区间[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象的平移变换可得f（x）的解析式．利用单调性可求值域．
（2）根据二次函数的单调性讨论其最小值即可．

解答 解：（1）二次函数h（x）=x²的图象先向右平移1个单位，
可得：y=（x+1）²，
再向下平移2个单位得到，y=（x-1）²-2．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=（x-1）²-2．
对称轴x=1，开口向上，
∵x∈[0，4]，
当x=1时，f（x）取得最小值为-2．
当x=4时，f（x）取得最大值为7．
∴函数f（x）的值域[-2，7]
（2）函数f（x）=x²-2ax-1，
对称轴x=a，开口向上，
∵x在区间[0，2]上，
当a≤0时，则x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-1；
当0＜a＜2时，则x=a时，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-a²-1；
当a≥2时，则x=2时，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-4a+3；
故得f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-1，a≤0}\\{-{a}^{2}-1，0＜a＜2}\\{-4a+3，a≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数的平移和最小值的讨论问题．属于基础题．