Question

（本小题满分13分）

    已知函数

   （I）求函数在上的最小值；

   （II）对一切恒成立，求实数a的取值范围；

   （III）求证：对一切，都有

Answer 1

【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，当x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）单调递减，

当x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）单调递增．     ……2分

①0＜t＜t＋2＜，t无解；

②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时，f （x）_min＝f （）＝－；

③≤t＜t＋2，即t≥时，f （x）在［t，t＋2］上单调递增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；

所以f （x）_min＝．           ……5分

（II）2xlnx≥－x²＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，       ……6分

设h （x）＝2lnx＋x＋（x＞0），则h′ （x）＝，x∈（0，1），h′ （x）＜0，h （x）单调递减，

x∈（1，＋∞），h′ （x）＞0，h （x）单调递增，所以h （x）_min＝h （1）＝4，

因为对一切x∈（0，＋∞），2f （x）≥g （x）恒成立，所以a≤h （x）_min＝4．      ……9分

（III）问题等价于证明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），

由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，

当且仅当x＝时取到．    

设m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），则m ′（x）＝，

易得m （x）_max＝m （1）＝－，当且仅当x＝1时取到，

从而对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－．   ……13分