Question

13．在△ABC中，已知cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，C=$\frac{3π}{4}$，b=$\sqrt{2}$，若△ABC最大边的边长为$\sqrt{10}$，则△ABC的面积为1．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB，利用正弦定理可求c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：在△ABC中，∵cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又∵C=$\frac{3π}{4}$，b=$\sqrt{2}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）+$$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴由$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{10}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{10}×$$\frac{\sqrt{5}}{5}$=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．