Question

已知函数f（x）=sin2xsinφ-2cos²xcos（π-φ）-sin （

π

2

+φ） （0＜φ＜π）在x=

π

6

时取得最大值．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上个点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若g（a）=

1

3

，求sina的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数公式得出f（x）=cos（2x-φ），由已知，cos（2•

π

6

-φ）=1，且0＜φ＜π，解出φ=

π

3

．
（Ⅱ） 根据函数图象变换规律，g（x）=f（

1

2

x）=cos（x-

π

3

），将α表示为（α-

π

3

）+

π

3

，再利用两角和的正弦公式计算即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2xsinφ+2cos²xcosφ-cosφ
=sin2xsinφ+（1+cos2x）cosφ-cosφ
=sin2xsinφ+cos2xcosφ
=cos（2x-φ）
因为函数f（x）在x=

π

6

时取得最大值，所以cos（2•

π

6

-φ）=1，
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

3

．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f（x）=cos（2x-

π

3

），所以g（x）=f（

1

2

x）=cos（x-

π

3

），
于是有g（α）=cos（α-

π

3

）=

1

3

∴sin（α-

π

3

）=±

2 2

3

．
∴sinα=sin[（α-

π

3

）+

π

3

]=sin（α-

π

3

）cos

π

3

+cos（α-

π

3

）sin

π

3

=

3 ±2 2

6

点评：本题考查了三角函数公式的应用，三角函数的性质，函数图象变换规律．在（2）中，应将α表示为（α-

π

3

）+

π

3

，再利用两角和的正弦公式计算．考查转化、计算能力．