Question

21.    设函数f(x)= │x²-4x-5│

(1)  在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;

(2)  设集合A={x│f(x)≥5},B=(-∞, -2)∪[0,4]∪[6, +∞),试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;

(3)  当k>0时,求证:在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

21.

 [解](1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                     

 

 

 

 

(2)方程f(x)=5的解分别是2-,0, 2+,由于f(x)在(-∞, -1]和[2,5]上单调递减,在

[-1,2]和[5,+ ∞)上单调递增,因此

A=(-∞, 2-]∪[0,4]∪[2+, ∞).                  

由于2+<6, 2->-2, ∴BA                         

   (3) [解法一]当x∈[-2,5]时,f(x)=-x²+4x+5,

     G(x)=k(x+3)-(-x²+4x+5)=x+(k-4)x+(3k-5)

        =(x-)²-                        

∵k>2, 

∴<1,又-1≤x≤5,

①  当-1≤<1,即2时,取x=.

 

g(x)_mix==-[(k-10)²-64].

 

∵16≤(k-10)²<64  ∴(k-10)²-64<0

 

则g(x)_mix>0                                            

 

②当<-1,即k>6时,取x=-1,

 

g(x)_mix=2k>0.

   由①②可知,当k>2时,g(x)>0, x∈[-1,5].

  因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方. 

 

[解法二]当x∈[-1,5]时, f(x)=-x²+4x+5.

由     y=k(x+3)

       f(x)=-x²+4x+5    得x+(k-4)x+(3k-5)=0.

令△=(k-4)²-4(3k-5)=0,解得 k=2或k=18,                  

在区间[-1,5]上,当k=2时, y=2(x+3) 的图像与函数f(x) 的图像只交于一点(1,8);

当k=18时, y=18(x+3) 的图像与函数f(x) 的图像没有交点.   

如图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0), 当k>2时, 直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到. 因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方.