Question

已知函数f（x）=（sinx-cosx）•2cosx．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将f（x）按向量

a

平移后图象关于原点对称，求当|

a

|最小时的

a

．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式的变形公式，以及辅助角公式进行化简变形，从而求出函数的周期和单调区间；
（2）设

a

=(m，n)，然后求出f（x）按

a

平移后所得解析式，根据该函数的图象关于原点对称建立等式，从而可求出所求．

解答：解：（1）f（x）=（sinx-cosx）•2cosx=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1，（2分）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，x≠kπ(k∈Z)
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，(k∈Z)．（5分）
（2）设

a

=(m，n)，则f（x）按

a

平移后得y=

2

sin[2(x-m)-

π

4

]-1+n=

2

sin(2x-2m-

π

4

)-1+n（7分）
因为该函数的图象关于原点对称，所以

-2m- π 4 =kπ，k∈Z n-1=0

，⇒

m=- kπ 2 - π 8 ，k∈Z n=1

（9分）
当|

a

|最小时，

a

=(-

π

8

，1)…（10分）

点评：本题主要考查了三角恒等变换，以及函数的周期和单调区间，同时考查了图象的平移和运算求解的能力，属于中档题．