Question

过点(1，

1

2

)作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点，则椭圆方程为

x2

5

+

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：方法一：利用圆的方程相减即可得出两圆相交的交点所在的直线的方程，进而得出椭圆的焦点、顶点，再利用椭圆的性质即可得出方程．
方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，即可得出切点为A（1，0）；设另一条切线的斜率为k，则切线方程为y-

1

2

=k(x-1)，利用切线的性质和点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到切线的距离d=r，可得斜率k，进而得到切线方程和切点．

解答：解：方法一：设点P(1，

1

2

)，O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为：(x-

1

2

)2+(y-

1

4

)2=

5

16

．与方程x²+y²=1相减得x+

1

2

y=1．
令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．
∴焦点为（1，0），上顶点为（0，2）．
∴c=1，b=2．a²=b²+c²=5．
∴椭圆的方程为

x2

5

+

y2

4

=1．
方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，切点为A（1，0）；
设另一条切线的斜率为k，则切线方程为y-

1

2

=k(x-1)，化为2kx-2y+1-2k=0，则

|1-2k|

4k2+4

=1，解得k=-

3

4

，得切线方程为3x+4y-5=0．
联立

3x+4y-5=0 x2+y2=1

解得切点B(

3

5

，

4

5

)．
∴直线AB的方程为：2x+y-2=0．以下同方法一．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、两圆的根轴方程的求法、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式等是解题的关键．