Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于点E，且E是直线EF₁与⊙F₂的切点，则椭圆的离心率为

5

3

．

Answer 1

分析：作出图形，根据椭圆的定义，可得到EF₁+EF₂=2a，依题意EF12+EF22=F1F22=4c²，再由⊙F₂与直线y=b相切，可得EF₂=b，
从而有（2a-b）²+b²=4c²，整理即可求得椭圆的离心率．

解答：解：依题意，作图如右：
∵EF₁⊥EF₂，⊙F₂交椭圆于点E，
∴EF₁+EF₂=2a，
EF12+EF22=F1F22=（2c）²=4c²．①
又⊙F₂与直线y=b相切，
∴EF₂=b，②
∴EF₁=2a-b，③
将②③代入①得：（2a-b）²+b²=4c²，
∴4a²+2b²-4ab=4c²，
∴2（a²-c²）=b（2a-b），即2b²=b（2a-b），
∵b≠0，
∴3b=2a，
∴4a²=9b²=9（a²-c²），
∴5a²=9c²，即e²=

c2

a2

=

5

9

，
∴e=

c

a

=

5

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义，考查直线与圆相切，考查方程思想与数形结合思想的运用，属于难题．