Question

设函数f（x）=x³+x，x∈R
（1）用单调性的定义证明f（x）是R上的增函数．
（2）设a，b，c∈R，a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，求证：f（a）+f（b）+f（c）＞0．

Answer 1

分析：（1）设R上任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，将f（x₁）-f（x₂）因式分解，得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）[（x₁+

1

2

x₂）²+

3

4

x₂²+1]＜0恒成立，因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（2）利用f（x）的单调性，证出f（a）＞f（-b），结合函数f（x）是奇函数，可得f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0，同理得到f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0，最后将所得三个不等式相加，即得f（a）+f（b）+f（c）＞0．

解答：解：（1）设任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁³+x₁-（x₂³+x₂）
=（x₁³-x₂³）+（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）=（x₁-x₂）[（x₁+

1

2

x₂）²+

3

4

x₂²+1]
∵x₁＜x₂，（x₁+

1

2

x₂）²+

3

4

x₂²+1≥1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0得f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
∵a+b＞0，得a＞-b，且f（x）是R上的增函数，
∴f（a）＞f（-b），可得f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0
同理可得f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0
将以上三个不等式相加，可得2[f（a）+f（b）+f（c）]＞0
∴f（a）+f（b）+f（c）＞0，不等式成立

点评：本题给出三次多项式函数为奇函数，求证函数的单调性并证明不等式恒成立，主要考查了函数的单调性和奇偶性、不等式的证明等知识，属于中档题．