Question

设函数f(x)=ax³+bx²-3a²x+1(a、b∈R)在x=x₁,x=x₂处取得极值,且|x₁-x₂|=2.

(1)若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间;

(2)若a＞0,求b的取值范围.

Answer 1

答案：本题主要考查函数的导数、单调性、极值、最值等基础知识,考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力.

解:f′(x)=3ax²+2bx-3a².                                                       ①

(1)当a=1时,f′(x)=3x²+2bx-3.

由题意知x₁,x₂为方程3x²+2bx-3=0的两根,

所以|x₁-x₂|=.

由|x₁-x₂|=2,得b=0.                                                           

从而f(x)=x³-3x+1,f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1).

当x∈(-1,1)时,f′(x)＜0;

当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)＞0.

故f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增.                            

(2)由①式及题意知x₁,x₂为方程3ax²+2bx-3a²=0的两根,

所以|x₁-x₂|=.

从而|x₁-x₂|=2b²=9a²(1-a).

由上式及题设知0＜a≤1.                                                      

考虑g(a)=9a²-9a³,

g′(a)=18a-27a²=-27a(a-).                                                   

故g(a)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,从而g(a)在(0,1］上的极大值为g()=

又g(a)在(0,1］上只有一个极值,

所以g()=为g(a)在(0,1］上的最大值,且最小值为g(1)=0.

所以b²∈［0,］,即b的取值范围为［,］.