Question

（本小题满分12分）.

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量T_n大致满足关系式：T_n＝228a(1.01²ⁿ－1).(n≤24，n∈N^*)

(1)求Q型车前n个月的销售总量S_n的表达式；

(2)比较两款车前n个月的销售总量S_n与T_n的大小关系；

(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由.

(参考数据：≈1.09，≈8.66)

Answer 1

解：(1)Q型车每月的销售量{a_n}是以首项a₁ ＝ a，

公比q ＝ 1＋1%＝ 1.01的等比数列(2分)

前n个月的销售总量S_n＝＝100a(1.01ⁿ－1)，(n∈N^*，且n≤24).

  (2) ∵S_n－T_n＝100a(1.01ⁿ－1)－228a(1.01²ⁿ－1)

＝100a(1.01ⁿ－1)－228a(1.01ⁿ－1)(1.01ⁿ＋1)

＝－228a(1.01ⁿ－1)·(1.01ⁿ＋)

又1.01ⁿ－1>0,1.01ⁿ＋>0，∴S_n<T_n.(8分)

   (3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为a_n和b_n，则a_n＝a×1.01^n－1

当n≥2时，b_n＝T_n－T_n－1＝228a(1.01²ⁿ－1)－228a(1.01^2n－2－1)

＝228a×(1.01²－1)×1.01^2n－2＝4.5828a1.01^2n－2.(10分)

b₁＝4.5828a，显然20%×b₁<a₁.

当n≥2时，若a_n<20%×b_n，a×1.01^n－1<×4.5828a×1.01^2n－2，

1.01^2(n－1)>×1.01^n－1,1.01^n－1>≈1.09，n－1>≈8.66.

∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.(12分)