Question

若a、b、c均为实数,且a=x²-2y+,b=y²-2z+,c=z²-2x+,求证:a、b、c中至少有一个大于0.

Answer 1

分析:利用反证法证明.

证明:(反证法)假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0,

而a+b+c=x²-2y++y²-2z++z²-2x+=(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²+π-3.??

∵π-3>0,且(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²≥0,

∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾,

因此a、b、c中至少有一个大于0.

温馨提示:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.

(2)命题以否定形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”?“都不……”“没有……”等指示性词语，此时也可选用反证法.

(3)正难则反,即若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.

(4)得出矛盾,一般有三种:一是与原命题的已知条件矛盾;二是与自身矛盾;三是与另一个已知的真命题矛盾.