Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-x+1n(x+1)，a≥0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[0，+∞）上的最小值是0，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f^′（x）=

x(ax+a-1)

x+1

（x＞-1）．
①当a=0时，f′(x)=

-x

x+1

，∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）；
②当a＞0时，f^′（x）=

ax(x- 1-a a )

x+1

，
令f^′（x）=0，解得x₁=0，x2=

1-a

a

．
当0＜a＜1时，x₁＜x₂，函数f（x）的单调递增区间是（-1，0）和(

1-a

a

，+∞)，单调递减区间是(0，

1-a

a

)；
当a=1时，f′(x)=

x2

x+1

在（-1，+∞）上单调递增；
当a＞1时，-1＜

1-a

a

＜0，∴函数f（x）的单调递增区间是(-1，

1-a

a

)和（0，+∞），单调递减区间是(

1-a

a

，0)．
（2）由（1）可知：①a=0时不符合题意；
②当0＜a＜1时，函数f（x）在(0，

1-a

a

)上单调递减，在(

1-a

a

，+∞)单调递增，
由题意可知f（x）_min=f(

1-a

a

)＜f（0）=0，不符合题意，应舍去；
③当a≥1时，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
故f（x）_min=f（0）=0满足题意．
综上可知：a的取值范围是[1，+∞）．