Question

）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存过点（2,1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出和的值是解题的关键

解：⑴设椭圆的方程为，由题意得

解得，故椭圆的方程为．……………………4分

⑵若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

．

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

所以

所以．

又，

因为，即，

所以．

即．

所以，解得．

因为为不同的两点，所以．

于是存在直线满足条件，其方程为．………………………………12分