Question

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=a，且PD是四棱锥的高。

（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。

（2）求四棱锥外接球的半径。

Answer 1

证明：（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R。

V_P——ABCD=·S_ABCD·PD=·a·a·a

=a³，S_PAD= S_PDC=·a·a=a²，

S_PAB= S_PBC=·a·a=a²

S_ABCD=a²。

V_P—ABCD= V_S—PDA+ V_S——PDC+ V_S-ABCD+ V_S—PAB+ V_S—PBC，

a³=R（S_PAD+ S_PDC+ S_PAB+ S_PBC+ S_ABCD），

a³=R（a²+a²+a²+

a²+a²），

R（2+）a²=a³，

∴R==a=（1-）a

∴球的最大半径为（1-）a

（2）设PB的中点为F，

∵ 在R_tPDB中，FP=FB=FD，

在R_tPAB中，FA=FP=FB，

在R_tPBC中，FP=FB=FC，

∴FP=FB=FA=FC=FD。

∴F为四棱锥外接球的球心。

则FP为外接球的半径

∵FB=PB，∴FB=a。

∴四棱锥的外接球的半径为a。