Question

设f（x）在x₀可导，则

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0-3x)

x

等于（　　）

A．2f'（x₀）

B．f'（x₀）

C．3f'（x₀）

D．4f'（x₀）

Answer 1

分析：由函数在某点的导数的定义可得 f′（x₀）=

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)

x

，而要求的式子可化为

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)

x

+3

lim

x→0

f(x0-3x)-f(x0)

-3x

，由此得出结论．

解答：解：∵f（x）在x₀可导，∴f′（x₀）=

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)

x

．
∴

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0-3x)

x

=

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)+f(x0)-f(x0-3)

x

=

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)

x

+

lim

x→0

f(x0-3x)-f(x0)

-x

 
=f′（x₀）+3

lim

x→0

f(x0-3x)-f(x0)

-3x

 
=f′（x₀）+3f′（x₀）=4f′（x₀），
故选D．

点评：本题考查极限及其运算，求解的关键有二，一是熟练掌握导数的定义，二是导数极限定义式的格式记忆准确，如此才能想到改变分子上两个函数式的顺序得出正确答案．此也是本题的一个易错点，极易出错，解决的办法就是对定义掌握准确，属于基础题．