Question

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

解：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,

    对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a,

    令g′(x)=0,解得x=e^a-1-1.

(ⅰ)当a≤1时,对所有x＞0,g′(x)＞0,所以g(x)在［0,+∞］上是增函数.

    又g(0)=0,所以对x≥0,有g(x)≥g(0),

    即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.

(ⅱ)当a＞1时,对于0＜x＜e^a-1-1,g′(x)＜0,所以g(x)在(0,e^a-1-1)上是减函数,又g(0)=0,所以对0＜x＜e^a-1-1有g(x)＜g(0),

    即f(x)＜ax,

    所以当a＞1时,不是对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立.

    综上,a的取值范围是(-∞,1］.