Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝．

(1)求证：EF⊥B₁C．

(2)求EF与C₁G所成的角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：如图建立空间直角坐标系O－xyz，D为坐标原点O， 　　则E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)． 　　(1)＝(，，0)－(0，0，)＝(，，)， 　　＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)， 　　·＝×(－1)＋×0＋()×(－1)＝0， 　　∴⊥．∴EF⊥B1C． 　　(2)＝(0，，0)－(0，1，1)＝(0，，－1)， 　　||＝． 　　由(1)，得||＝． 　　∴·＝(，，)·(0，，－1) 　　＝×0＋×()＋()×(－1)＝． 　　∴cos〈，〉＝．

提示：

要证EF⊥B1C，只需证·＝0．要求异面直线EF与C1G所成的角的余弦值，可以用向量夹角公式求出与的夹角．本题几何体比较特殊，可以建立空间直角坐标系，用坐标运算求解．