Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF⊥AC，EF⊥A₁D则EF和BD₁的关系是________．

Answer 1

平行
分析：法一：先证EF垂直面AB₁C，然后再BD₁证垂直面AB₁C，最后利用直线与平面垂直的性质定理即可得知结论；
法二：建立以D₁为原点的空间直角坐标系D₁-xyz，设正方形的边长为1，利用向量法，我们易求出BD₁与A₁D和AC都垂直，根据共垂线的性质，可以得到答案．
解答：解：法一：根据图象可知：
EF⊥AC，EF⊥A₁D，A₁D∥B₁C，B₁C⊥EF，AC∩B₁C=C，
∴EF⊥面AB₁C，而BD₁⊥面AB₁C，即BD₁∥EF．
法二：建立以D₁为原点的空间直角坐标系D₁-xyz，且设正方形的边长为1
所以就有D₁（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）
所以 =（-1，0，1），=（-1，1，0），=（-1，-1，1）
所以 •=-1+1=0 所以A₁D⊥BD₁，
•=1-1=0 所以AC⊥BD₁，
所以BD₁与A₁D和AC都垂直
又∵EF是AC、A₁D的公共垂线，
∴BD₁∥EF．
故答案为：平行．
点评：本题主要考查直线与平面垂直的性质定理的应用，空间中直线与直线之间的位置关系，其中建立空间坐标系，借助向量分析直线与直线之间的位置关系是解答本题的关键．