Question

如图,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=1,F是CD的中点.

(1)求证:AF∥平面BCE;

(2)求多面体ABCDE的体积;

(3)求二面角C-BE-D的正切值.

Answer 1

(1)证明:如图,取CE中点M,连结FM、BM,则有FMDEAB,

∴四边形AFMB是平行四边形.

∴AF∥BM.

∵BM平面BCE,AF平面BCE,

∴AF∥平面BCE.

(2)解:由DE⊥平面ACD,则DE⊥AF,

又△ACD是等边三角形,则AF⊥CD.而CD∩DE=D,因此AF⊥面CDE.又BM∥AF,则BM⊥平面CDE.V_ABCDE=V_B—_ACD+V_B—_CDE=.

(3)解:设G为AD中点,连结CG、BG、EG,则CG⊥AD.

由DE⊥平面ACD,CG平面ACD,则DE⊥CG,

又AD∩DE=D,∴CG⊥平面ADEB.

作GH⊥BE于H,连结CH,则CH⊥BE,

∴∠CHG为二面角CBED的平面角,

由已知AB=1,DE=AD=2,则CG=.

∴S_△GBE=(1+2)·2-×1×1-×2×1=.易知BE=,∴S_△GBE=.

∴GH=.∴tan∠CHG=.