Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面和侧棱长都等于2，平面A₁ACC₁ AA₁C₁C⊥ABCD，∠A₁AC=60°．点O为底面对角线AC与BD的交点．
（1）证明：A₁O⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的正切值．

Answer 1

解：（1）证明：由已知得 AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=2．
又O为AC的中点，故 OA=1，△A₁OA中，由余弦定理可得 A₁O²=3，∴A₁O²+AO²=A₁A²，
∴A₁O⊥AO．又因平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∴A₁O⊥平面ABCD．
（2）因底面ABCD为菱形，则 BD⊥AC，又 BD⊥A₁O，则BD⊥面C₁C．过点O 作OE⊥AA₁ ，
则AA₁⊥DE，∠DEO即为二面角D-A₁A-C的平面角．OD==，
Rt△AEO中，EO=AO•sin∠EAO=．
在Rt△DEO中，tan∠DEO==2，故二面角D-A₁A-C的平面角的正切值等于 2．
分析：（1）证明△ABC为等边三角形，由余弦定理可得 A₁O²=3，由勾股定理可得A₁O⊥AO，再由面AA₁C₁C⊥平面ABCD，得到 A₁O⊥平面ABCD．
（2）过点O 作OE⊥AA₁，∠DEO即为二面角D-A₁A-C的平面角勾股定理求的OD，Rt△AEO中，利用边角关系求得 EO，由tan∠DEO= 求得结果．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求二面角的平面角的正切值，找出二面角的平面角是解题的难点．