Question

21.已知函数f（x）=ax－x²的最大值不大于,又当x∈［,］时，f（x）≥.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设0<a₁<,a_n+1=f（a_n）,n∈N*,证明：a_n<.

Answer 1

21.本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：由于f（x）=ax－x²的最大值不大于，所以

f（）=≤，即a²≤1.                                              ①

又x∈［,］时，f（x）≥，所以

　即

解得a≥1.                                                                                    ②

由①②得a=1.                                                       

（Ⅱ）证法一：（ⅰ）当n=1时，0<a₁<，不等式0<a_n<成立；

因f（x）>0,x∈（0，），所以0<a₂=f（a₁）≤<，故n=2时不等式也成立.

（ⅱ）假设n=k（k≥2）时，不等式0<a_k<成立，因为f（x）=x－x²的对称轴为x=，知f（x）在［0,］为增函数，所以由0<a_k<≤，得

0<f（a_k）<f（）.                                

于是有

0<a_k+1<－·+－=－＜，                                                                               　 

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（ⅰ）（ⅱ）可知，对任何n∈N*，不等式a_n<成立.

证法二：（ⅰ）当n=1时，0<a₁<,不等式0<a_n<成立；

（ⅱ）假设n=k（k≥1）时不等式成立，即0<a_k<，则当n=k+1时，

a_k+1=a_k（1－a_k）=·（k+2）a_k·（1－a_k）.          

因（k+2）a_k>0,1－a_k>0,所以

（k+2）a_k·（1－a_k）≤［］²=［］²<1.于是0<a_k+1<.

因此当n=k+1时，不等式也成立.

根据（ⅰ）（ⅱ）可知，对任何n∈N*，不等式a_n<成立.

证法三：（ⅰ）当n=1时，0<a₁<,不等式0<a_n<成立；

（ⅱ）假设n=k（k≥1）时，0<a_k<，则当n=k+1时，

若0<a_k<,则

0<a_k+1=a_k（1－a_k）<a_k<.                    ①

若≤a_k<，则

0<a_k+1=a_k（1－a_k）<（1－×）=·<.

②　

由①②知当n=k+1时，不等式0<a_n<也成立.

根据（ⅰ）（ⅱ）可知，对任何n∈N*，不等式a_n<成立.