Question

已知数列{a_n}是首项为a₁，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosa_n}是等比数列，则其公比为

 

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：根据等比数列的定义得

cosan+1

cosan

=

cosa2

cosa1

，根据等差数列的通项公式化简，再由积化和差和和差化积化简得出sind=0，由公差的范围求得公差d，再求出公比q的值．

解答： 解：∵数列{a_n}是首项为a₁，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∵数列{cosa_n}是等比数列，
∴

cosan+1

cosan

=

cosa2

cosa1

，即

cos(a1+nd)

cos[a1+(n-1)d]

=

cos(a1+d)

cosa1

①，
∴2cosa₁cos（a₁+nd）=2cos（a₁+d）cos[a₁+（n-1）d]，
积化和差得cos（2a₁+nd）+cosnd=cos（2a₁+nd）+cos（n-2）d，
∴cos（n-2）d-cosnd=0，
和差化积得2sin[（n-1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，
∴sind=0，0＜d＜2π，则d=π．
由①得，公比q=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查等比数列的公比的求法，等差数列的通项公式，解题时要认真审题，注意积化和差公式与和差化积公式的灵活运用，是中档题．